Ägyptische Papyri

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In dem Artikel Ein Überblick über die ägyptische Mathematik haben wir uns einige Details der wichtigsten ägyptischen Papyri angesehen, die überlebt haben. In diesem Artikel werfen wir einen detaillierten Blick auf die darin enthaltene Mathematik.

Ahmes veranschaulicht im Rhind-Papyrus die ägyptische Methode der Multiplikation wie folgt. Nehmen wir an, wir wollen 41 mit 59 multiplizieren. Nehmen Sie 59 und addieren Sie es zu sich selbst, dann addieren Sie die Antwort zu sich selbst und fahren Sie fort:

  41             59
  _________________
   1             59
   2            118
   4            236
   8            472
  16            944
  32           1888
  _________________

Da 64 > 41, besteht keine Notwendigkeit, über den Eintrag 32 hinauszugehen. Gehen Sie nun eine Reihe von Subtraktionen durch

41 – 32 = 9, 9 – 8 = 1, 1 – 1 = 0

um zu sehen, dass 41 = 32 + 8 + 1. Als nächstes überprüfen Sie die Zahlen in der rechten Spalte, die 32, 8, 1 entsprechen, und fügen Sie diese hinzu.

  41             59
  _________________
   1             59 ✓
   2            118
   4            236
   8            472 ✓
  16            944
  32           1888 ✓
  _________________
               2419

Beachten Sie, dass die Multiplikation nur mit Additionen erreicht wird, beachten Sie auch, dass dies eine sehr frühe Anwendung der binären Arithmetik ist (siehe unten). Umkehrung der Faktoren, die wir haben:

    59             41
    _________________
     1             41 ✓
     2             82 ✓
     4            164
     8            328 ✓
    16            656 ✓
    32           1312 ✓
    _________________
                 2419

Beachten Sie, dass wir für diese Methode wissen müssen, dass jede Zahl die Summe der Potenzen von 2 ist. Die alten Ägypter hätten weder einen Beweis dafür gehabt, noch hätten sie es zu schätzen gewusst, dass ein Beweis notwendig war. Sie wüssten nur aus praktischer Erfahrung, dass es immer möglich ist. Im Grunde können wir uns die Methode so vorstellen, dass man eine der Zahlen zur Basis 2 schreibt. In den obigen Beispielen haben wir geschrieben

41 = 1.20 + 0.21 + 0.22 + 1.23 + 0.24 + 1.25

und

59 = 1.20 + 1.21 + 0.22 + 1.23 + 1.24 + 1.25.

Die Abteilung arbeitet auch mit Verdoppelung. Um zum Beispiel 1495 durch 65 zu teilen, gehen wir wie folgt vor:

     1             65
     2            130
     4            260
     8            520
    16           1040

Wir halten an diesem Punkt an, weil die nächste Verdoppelung über 1495 hinausgehen wird. Nun suchen wir in der rechten Spalte nach Zahlen, die sich zu 1495 addieren. Wir sehen, dass 1040 + 260 + 130 + 65 = 1495 ist, und wir kreuzen die Zeilen an, in denen diese Zahlen vorkommen:

     1             65 ✓
     2            130 ✓
     4            260 ✓
     8            520
    16           1040 ✓

Fügen Sie nun die Zahlen in der linken Spalte hinzu, die sich in angekreuzten Zeilen befinden:

16 + 4 + 2 + 1 = 23,

also 1495 geteilt durch 65 ist 23.

Was passiert, wenn die Zahlen nicht genau geteilt werden? Dann wird die ägyptische Methode Brüche ergeben, wie das folgende Beispiel zeigt.

Um 1500 durch 65 zu dividieren, gehen Sie wie bisher vor:

     1             65
     2            130
     4            260
     8            520
    16           1040

Auch hier halten wir an, denn die nächste Verdoppelung führt uns über 1500 hinaus. Suchen Sie nun die Zahlen in der rechten Spalte, die sich zu einer Zahl n mit 1500-65 < n ≤ 1500 addieren. [Die Ägypter wussten, dass dies immer möglich ist: Können Sie beweisen, dass dies so ist?] In diesem Fall haben wir

1040 + 260 + 130 + 65 = 1495

und wir sind 5 unter unserer Summe. Kreuzen Sie noch einmal die Zeilen mit diesen Einträgen an:

     1             65 ✓
     2            130 ✓
     4            260 ✓
     8            520
    16           1040 ✓

Fügen Sie nun die Zahlen in der linken Spalte hinzu, die sich in angekreuzten Zeilen befinden:

16 + 4 + 2 + 1 = 23,

also 1500 geteilt durch 65 ist 23 und 5/65 = 1/13 bleibt übrig. Die Antwort lautet also 23 1/13.

Wir haben hier ein wenig geschummelt, denn der erhaltene Bruch ist ein Einheitsbruch, d.h. eine Zahl der Form 1/n für n eine ganze Zahl. Tatsächlich hatten die Ägypter nur Bruchstücke dieser Art, und wenn die Antwort nicht einen Einheitsbruch beinhaltet hätte, dann hätten die Ägypter den Bruchteil als Summe der Einheitsbrüche geschrieben. Wir sehen weiter unten, wie dies gemacht wurde, aber wir untersuchen einen allgemeineren Fall.

Das nächste Problem ist die Frage, wie man Zahlen mit Brüchen multipliziert und dividiert. Der erste wichtige Punkt ist, dass die Ägypter nur Einheitsbrüche verwendeten, und um eine Tabelle berechnen zu können, musste man zweimal einen Einheitsbruch in eine Summe von Einheitsbrüchen umrechnen. Nun könnte man annehmen, dass die Verdoppelung des Einheitsbruchs 1/5 einfach wäre und die Summe der Einheitsbrüche 1/5 + 1/5 ergeben würde. Aus Gründen, die wir voll und ganz verstehen, war dies jedoch nicht ihr Ansatz. Sie schrieben einen doppelten Einheitsbruch als die Summe der verschiedenen Einheitsbrüche. Zum Beispiel würde zweimal 1/5 als 1/3 + 1/15 geschrieben werden.

Der Rhind-Papyrus gibt eine Tabelle für die Verdoppelung der Einheitsbrüche 1/n für n ungerade, n zwischen 5 und 101. Beachten Sie, dass Ahmes das Doppelte von 1/n für n nicht angeben musste, da es nur 1/m ist, wobei n = 2m ist. Die Verdoppelungstabelle für Einheitsbrüche beginnt

Stammbruch   Doppel-Stammbruch
____________________________________
    1/5          1/3  + 1/15
    1/7          1/4  + 1/28
    1/9          1/6  + 1/18
    1/11
    1/13
    1/15         1/10 + 1/30
    1/17         1/12 + 1/51 + 1/68
    ....         ..................

Es ist bemerkenswert, dass die Tabelle keine Fehler enthält. Sicherlich wäre Ahmes ein Experte im Rechnen gewesen, und dies wäre für ihn nicht einfach eine Kopierübung gewesen. Es gibt nur wenige Fehler im Rhind-Papyrus, aber die, die es gibt, scheinen Rechenfehler zu sein, nicht Kopierfehler, da das falsche Ergebnis übertragen wird und nicht eine Rückkehr zum richtigen Pfad, wie es bei einem Fehler beim Kopieren passieren würde.

Es stellt sich die faszinierende Frage, wie diese Zerlegungen gefunden wurden und warum einige Zerlegungen anderen vorgezogen wurden. Die bevorzugten Regeln, von denen viele Historiker wie Gillings glauben, dass sie die Schreiber bei der Wahl der Zerlegung von 2/n in Einheitenbrüche geleitet haben, sind (1) kleine Zahlen zu bevorzugen (2) je weniger Terme, desto besser, und nie mehr als vier (3) gerade Zahlen gegenüber ungeraden Zahlen zu bevorzugen. Andere Historiker wie Bruins argumentieren jedoch gegen solche Regeln. Sein Argument ist im Wesentlichen, dass man vor der Anwendung dieser Regeln alle Einheitszerlegungen von 2/n ausarbeiten müsste, und es gibt keine Beweise dafür, dass die Ägypter irgendwelche Methoden hatten, um dies zu tun.

Als Beispiel für die Anwendung der Tabelle wollen wir uns das Problem 21 des Rhind-Papyrus ansehen. Beachten Sie, dass 2/3 eine zulässige ägyptische Fraktion war, obwohl es sich nicht um eine Einheitsfraktion handelt.

Problem 21: Vollständige 2/3 und 1/15 zu 1.

In modernen Begriffen erfordert dies einen Bruch x, so dass
2/3 + 1/15 + x = 1.
Die Lösungsmethode bestand darin, die Brüche durch Multiplikation “loszuwerden”. In diesem Fall wurde jeder Bruch mit 15 multipliziert, um Folgendes zu erhalten
10 + 1 + y = 15.
Dies wird die “rote Hilfsgleichung” genannt, da der Schreiber diese Gleichung mit roter Tinte geschrieben hat. [Natürlich würde sie nicht in dieser Form erscheinen, sondern eher “vollständig 10 und 1 bis 15”].

Nun ist die Antwort auf die rote Hilfsgleichung 4, so dass die ursprüngliche Gleichung zweimal × (zweimal × 1/15) gelöst wurde. Aus der Verdopplungstabelle sehen wir, dass das Doppel von 1/15 1/10 + 1/30 ist. Die Verdoppelung ergibt 1/5 + 1/15, was die erforderliche Lösung von Problem 21 ist.

Ein weiteres Beispiel für die Lösung einer Gleichung ist Problem 24, das fragt:

Problem 24: Eine Menge, die zu einem Viertel dieser Menge hinzugefügt wird, wird zu 15. Was ist die Menge?

Ahmes verwendet die “Methode der falschen Position”, die dreitausend Jahre später immer noch eine Standardmethode war. In der modernen Notation ist das Problem zu lösen
x + x/4 = 15.
Ahmes errät die Antwort x = 4. Damit wird der Bruch im x/4-Term entfernt. Mit x = 4 wird nun der Ausdruck x + x/4. Dies ist nicht die richtige Antwort, denn der Ausdruck muss gleich 15 sein. 15 ist jedoch 3 mal 5, so dass Ahmes das korrekte Ergebnis erhält, wenn er 3 mal seine Schätzung von x = 4, nämlich x = 12, annimmt. Eine andere, von einigen Historikern favorisierte Interpretation ist, dass Ahmes die Methode als Teilung von x in 4 gleiche Teile einer zu bestimmenden Größe ansah. Nun berechnet Ahmes x + x/4 und erhält 5 dieser gleichen Stücke. Jedes Stück muss nun drei sein, so dass 5 Stücke gleich 15 sind. Das unterscheidet sich nicht sehr von unserer früheren Denkweise, aber es ist wahrscheinlich, dass sie der Denkweise von Ahmes näher kommt als unsere frühere Beschreibung. Schließlich überprüft Ahmes seine Lösung oder beweist, dass seine Antwort richtig ist. Er nimmt x = 4 × 3 = 12. Dann x/4 = 3, also x + x/4 = 15, wie erforderlich.

Die Methode der falschen Position wird in den Problemen 24 bis 29 des Rhind-Papyrus verwendet. In Problem 31 des Papyrus verwendet Ahmes jedoch die einfachere Methode der reinen Teilung. Dies wird in ausführlich besprochen.

Wir wollen nun sehen, wie man mit ägyptischen Methoden 1 + 1/3 + 1/5 mit 30 + 1/3. multipliziert.

   1    1 + 1/3  + 1/5
   2    2 + 2/3  + 1/3 + 1/15 = 3 + 1/15
   4    6 + 1/10 + 1/30
   8   12 + 1/5  + 1/15
  16   24 + 1/3  + 1/15 + 1/10 + 1/30
 2/3   2/3 + 1/6  + 1/18 + 1/10 + 1/30
 1/3   1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60

Hier wurde nun die Zeile, die mit 2/3 beginnt, aus 2/3 von 1 ist 2/3, 2/3 von 1/3 ist doppelt 1/9, was 1/6+1/18 ist, 2/3 von 1/5 ist doppelt 1/15, was 1/10 + 1/30 ist.

Als nächstes finden Sie die Zahlen in der linken Spalte, die sich zu 30+1/3 addieren. Dies sind die mit einem Haken markierten Zeilen:

   1    1 + 1/3  + 1/5
   2    3 + 1/15                   ✓
   4    6 + 1/10 + 1/30              ✓
   8   12 + 1/5  + 1/15              ✓
  16   24 + 1/3  + 1/15 + 1/10 + 1/302/3   2/3 + 1/6  + 1/18 + 1/10 + 1/30
 1/3   1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60

Addieren Sie die Einträge in der rechten Spalte der Zeilen, die angekreuzt sind, um das Ergebnis der Multiplikation zu erhalten.

46 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/30 + 1/36.

Zum Abschluss noch ein Blick auf den Rhind-Papyrus, um die Lösung von Problem 50 zu geben. Ein rundes Feld hat einen Durchmesser von 9 Khet. Welche Fläche hat es? Hier ist die Lösung, wie sie von Ahmes gegeben wurde.

Nehmen Sie 1/9 des Durchmessers, also 1, weg; der Rest ist 8. 8 mal 8 multiplizieren; das ergibt 64. Daher enthält es 64 Setat Land.

Machen Sie es so:

      1      9
     1/9     1

das weggenommen, bleiben 8

      1      8
      2     16
      4     32
      8     64

Seine Fläche beträgt 64 Setat.

Beachten Sie, dass die Lösung der Annahme π = 4(8/9)2 = 3.1605 entspricht. Dies ist ein bemerkenswertes Ergebnis, wenn man das Datum betrachtet, an dem diese Annäherung entdeckt worden sein muss. Es stellt sich die faszinierende Frage, wie eine solche Entdeckung gemacht worden sein könnte. Obwohl wir keine Möglichkeit haben, dies jemals mit Sicherheit zu wissen, wurden mehrere interessante Vermutungen angestellt. Gerdes gibt drei Ideen, die die Ägypter zu diesem Ergebnis geführt haben könnten. Zwei solcher Vermutungen, die vorgeschlagen werden, betreffen afrikanische Kunsthandwerke, in denen oft eine Schlangenkurve und eine Reihe von äquidistanten konzentrischen Ringen zu sehen sind. Diese beiden geometrischen Muster sind in Afrika weit verbreitet, und Gerdes zeigt, wie diese zu einer Formel für die Fläche eines Kreises geführt haben könnten. Die dritte Vermutung bezieht sich auf ein Brettspiel “mancala”, das in ganz Afrika und im alten Ägypten populär war. Bei diesem Spiel werden kleine Kreise mit größeren Kreisen verglichen, was die Motivation für die Flächenformel geliefert haben könnte.

Obwohl die von uns beschriebenen mathematischen Methoden in verschiedenen ägyptischen Dokumenten zu finden sind, stammen alle tatsächlichen Beispiele, die wir bisher genannt haben, aus Rhind-Papyrus. Lassen Sie uns diesen Artikel mit einem Beispiel aus dem Moskauer Papyrus abschließen, der nach Ansicht vieler Historiker die beeindruckendste Errungenschaft der ägyptischen Mathematik darstellt. Das Problem ist die Nummer 14 aus dem Papyrus, und es betrifft die geometrische Figur, die in dem Teil des Moskauer Papyrus sichtbar ist, der in diesem Bild zu sehen ist.

Beispiel 14. Beispiel für die Berechnung eines Pyramidenstumpfes. Die Basis ist ein Quadrat von 4 Ellen, die Spitze ist ein Quadrat von 2 Ellen und die Höhe des Pyramidenstumpfes beträgt 6 Ellen.

Zuerst bemerken wir, dass der Autor mit “eine Pyramide berechnen” “das Volumen der Pyramide berechnen” meint. Auch nicht, wie angemessen diese Berechnung für die Zivilisation ist, die heute allgemein für die bemerkenswerte Konstruktion von Pyramiden bekannt ist.

Die Berechnung beginnt mit der Berechnung der Fläche der Basis: 4 × 4 = 16. Dann wird die Fläche der Spitze ausgearbeitet: 2 × 2 = 4. Als nächstes wird das Produkt der Seite der Basis mit der Seite der Spitze berechnet: 4 × 2 = 8; diese drei werden dann addiert: 16 + 4 + 8 = 28. Nun wird 1/3 der Höhe genommen, nämlich 2. Schließlich wird das Produkt von 1/3 der Höhe mit der vorhergehenden Summe von 28 genommen und der Schreiber schreibt:-
Siehe, es ist 56.
Dieses Beispiel bedeutet, dass der Ägypter die Formel für den Band kannte (wenn auch natürlich nicht im algebraischen Sinn, den wir jetzt an Formeln denken). Wenn das Grundquadrat die Seite a hat, das obere Quadrat die Seite b, und die Höhe h ist dann
V = h (a2 + ab + b2)/3.

 

Übersetzung nach J J O’Connor and E F Robertson